Hiểu là một chuyện. Nếu là tôi thì tôi còn bắt tính vài giới hạn dựa vào ̣định nghĩa.Khi học toán giải tích, có những người chỉ cốt thuộc công thức tính đạo hàm. Tôi thì khác, toi bắt ngừoi học phải hiểu rằng "đạo hàm là giới hạn của dy/dx khi dx tiến về 0".
Có lần mấy người bạn ngồi nói chuyện về Toán. Có người hỏi: có một giới hạn cơ bản
lim(sin(x) / x) (x -> 0) = 1. Có ai nhớ cách chứng minh không?
Tôi không nhớ chi tiết, vì cũng chẳng bao giờ tôi cố nhớ chi tiết, nhưng tôi nhớ hướng đi. Đó là xét vòng tròn lượng giác ..., và chứng minh giới hạn bằng định nghĩa.
Nhưng có một bạn nói: Rõ ràng ở đây sin(x) và x đều tiến tới 0 khi x -> 0. Vậy ta có dạng vô định 0 / 0. Sử dụng Quy tắc l'Hôpital sẽ có:
lim(sin(x) / x) (x -> 0) = lim(sin(x)' / x') (x -> 0) = lim(cos(x) / 1) (x -> 0) = 1 (cos(x) -> 1 khi x -> 0)
(đ.p.c.m)
Có bạn nào thấy chứng minh trên có vấn đề không? Vì chắc chắn có vấn đề.