Dạ em suy nghĩ mãi mà cũng không ra vì sao mình lại có được hướng suy luận để ra được công thức như vậy ấy ạ.
Khi suy nghĩ về một bài toán thì có rất nhiều ý nghĩ thoáng hiện thoáng mất liên tục trong đầu. Có rất nhiều chi tiết xuất hiện. Tùy vào kinh nghiệm, khả năng tư duy (cái máy mới mua về mà không sử dụng, nằm hộp vài năm ắt sẽ gỉ. Bộ óc cũng vậy) mà ta dễ dàng nắm bắt được những ý rất "hứa hẹn" cần phải xem xét kỹ. Nhiều kinh nghiệm và tư duy sắc bén sẽ giúp tìm ra ý tưởng ở dạng chung chung. Sau đó cần xem xét kỹ, cụ thể hóa các chi tiết. Sau cùng là kiểm nghiệm và chứng minh hoặc bác bỏ.
Khi xét bài toán mà tôi phát biểu dưới đây thì luôn có câu hỏi: khi c (d) nằm trong / ngoài đoạn ̣(a; b) thì ...? Và cũng từ đó có "ánh chớp" MEDIAN lóe lên trong đầu. Tư duy là một quá trình phức tạp. Vì thế tôi không thể nói chính xác đến từng dấu phẩy là tôi đã tư duy như thế nào. Có hàng nghìn ý nghĩ xuất hiện và biến mất. Ai mà nhớ được.
Nhưng bạn hoàn toàn có thể xét từng trường hợp (vẽ lên giấy thôi). Số trường hợp hữu hạn và không nhiều.
Ta xét bài toán. Cho 2 đoạn (a; b) và (c; d) trên cùng một trục. Trục này có thể là trục thời gian, quãng đường. Nhưng nói cho cùng thì đều là trục số vì a, b, c và d là những con số. Câu hỏi đặt ra là đoạn chung của 2 đoạn cho trươc có độ dài bằng bao nhiêu.
Ta giả thiết là a <= b và c <= d vì luôn xác định (được cho trước a, b, c và d).
Gọi điểm đầu của đoạn chung là x1 và điểm cuối của đoạn chung là x2.
Gọi độ lớn đoạn chung là s ta có s = x2-x1.
Ta xét các trường hợp:
A. c <= a
- d <= a -> đoạn chung có độ lớn = 0. Độ lớn đoạn chung là a - a. Ta viết dưới dạng a - a chứ không phải các dạng khác, vd. s = b - b, vì ở 2 trường hợp tiếp theo ta có dạng (... - a)
- a <= d <= b -> x1 = a, x2 = d. Độ lớn đoạn chung là d-a
- b <= d -> x1 = a, x2 = b. Độ lớn đoạn chung là b-a
Ta thấy rằng trong cả 3 trường hợp nhỏ thì độ dài đoạn chung có dạng e-a, với e = a khi d <= a, e = d khi a <= d <= b, và e = b khi b <= d. Tức tùy thuộc vào vị trí của d so với đoạn (a; b) mà ta có e = a, e = d hay e = b. 3 trường hợp trên chính là 3 trường hợp:
-
a là điểm giữa trong 3 điểm a, b, d -> e =
a
-
d là điểm giữa trong 3 điểm a, b, d -> e =
d
-
b là điểm giữa trong 3 điểm a, b, d -> e =
b.
Khái niệm điểm giữa này làm ta liên tưởng tới MEDIAN.
-
a là điểm giữa trong 3 điểm a, b, d -> MEDIAN(a; b; d) =
a
-
d là điểm giữa trong 3 điểm a, b, d -> MEDIAN(a; b; d) =
d
-
b là điểm giữa trong 3 điểm a, b, d -> MEDIAN(a; b; d) =
b.
Tức ta luôn có s = MEDIAN(a; b; d)-a
B. a <= c <= b
- d <= b -> x1 = c, x2 = d. Độ lớn đoạn chung là d-c
- b <= d -> x1 = c, x2 = b. Độ lớn đoạn chung là b-c.
Tức
-
d là điểm giữa trong 3 điểm a, b, d -> MEDIAN(a; b; d) =
d. s = d-c = MEDIAN(a; b; d) - c
-
b là điểm giữa trong 3 điểm a, b, d -> MEDIAN(a; b; d) =
b. s = b-c = MEDIAN(a; b; d) - c
Tức ta luôn có s = MEDIAN(a; b; d) - c
C. b <= c. Trong trường hợp này s = 0.
Rõ ràng
b là điểm giữa trong 3 điểm a, b, d -> MEDIAN(a; b; d) =
b.
Vậy s = 0 = b - b = MEDIAN(a; b; d)-b
Tổng kết:
A. c <= a <=>
a là điểm giữa trong 3 điểm a; b; c <=> MEDIAN(a; b; c) =
a.
Ta có s = MEDIAN(a; b; d)-a = MEDIAN(a; b; d) - MEDIAN(a; b; c)
B. a <= c <= b <=>
c là điểm giữa trong 3 điểm a; b; c <=> MEDIAN(a; b; c) =
c
Ta có s = MEDIAN(a; b; d) - c = MEDIAN(a; b; d) - MEDIAN(a; b; c)
C. b <= c <=>
b là điểm giữa trong 3 điểm a, b, c <=> MEDIAN(a; b; c) =
b
Ta có s = MEDIAN(a; b; d)-b = MEDIAN(a; b; d) - MEDIAN(a; b; c)
Vậy ta luôn có s = MEDIAN(a; b; d) - MEDIAN(a; b; c)
Do vai trò của 2 đoạn (a; b) và (c; d) như nhau nên công thức sau cũng đúng - đổi vai trò của (a; b) và (c; d) với nhau:
s = MEDIAN(c; d; b) - MEDIAN(c; d; a)
------------
Công thức luôn đúng với a, b, c và d là các điểm chính xác tuần tự trên trục số. Khi làm bài trong Excel thì ta lại cho a, b, c hoặc d những giá trị không đúng với tuần tự trên trục số. Vì thế đôi lúc phải chỉnh sửa công thức. Tôi cho ví dụ.
1. Các thời điểm a, b, c, d đều trong cùng ngày.
Trong trường hợp này các điểm a, b, c và d đều nằm đúng vị trí tương quan lẫn nhau trên trục số và cứ dùng công thức trên mà xử lý.
Vd. cho trường hợp này là các ca 6-14 và 14-22 và không có tăng ca "lẹm" sang ngày khác.
2. Thời điểm c và d khác ngày với ca 22-6. Thậm chí các điểm a, b, c hoặc d không cùng ngày với cả 6-14 và 14-22 nhưng có tăng ca.
Tại sao trong trường hợp này không dùng được công thức y hệt như trên mà phải biến tấu, chỉnh sửa? Lý do là các điểm a, b, c và d không được cho với trình tự như cần phải có trên trục số. Nếu ca 3 được cho dưới dạng 22-30 và cả ngày làm thực vd. là 21-32 thì cứ công thức ở trên mà xử lý vì các điểm 22, 30 và 21, 32 đều đúng với vị trí cần có trên trục số. Nhưng trong Excel ta lại nhập thành 22-6 và 21-8 nên điểm b và điểm d không nằm đúng vị trí cần có trên trục số. Vì thế không thể dùng công thức y hệt ở trên. Cần phải chỉnh sửa và biến tấu đi.
(
