Dạo này có vẻ ít cá nên những người đi câu ngồi buồn chắc muốn chết. Nhu cầu có thì cung sẽ sẵn sàng. Có ngay đồ chơi cho các bạn đi câu đây.
Còn gì tuyệt hơn là Toán số. Vậy ta bắt đầu nhé.
Khi 9871^9871 được viết ở dạng thập phân (***) thì tổng các chữ số của nó là A. Gọi B là tổng các chữ số của A. Tìm tổng các chữ số của B. (A và B đều được viết ở dạng thập phân)
Chịu thua bác ơi. Tôi nói chuyên toán số là loại toán ứng dụng - chủ yếu ở dạng "numerical analysis/phân tích số". Toán của bác là loại toán của lý thuyết toán cổ (classic calculus - loại toán mấy toán gia Hy lạp cổ hay tính).
Chịu thua bác ơi. Tôi nói chuyên toán số là loại toán ứng dụng - chủ yếu ở dạng "numerical analysis/phân tích số". Toán của bác là loại toán của lý thuyết toán cổ (classic calculus - loại toán mấy toán gia Hy lạp cổ hay tính).
Để ý số 7 ở bài #4 tô đậm, không có # ở phía trước.
Thực ra vài dòng code Python thôi. Và cũng đoán người ra đề không tính giải bằng code nên đăng bài góp vui như vậy.
Bác dụ người ta đi câu mà hồ của bác toàn cá he.
Cá này thì chỉ dám lẳng lặng mạnh ai nấy ăn. Mở miệng tám là mắc xương ngay.
*** Qua Tết rồi, hình như hết mùa thi, mùa kiểm bài, ... Mấy người cần báo cáo cuối năm cũng xong, bi giờ là giai đoạn đem mấy cái bản in đi bỏ. Sẵn mấy cái Document Shredders, chính hiệu "bấm một phát" nó nhai hết. Không cần GPE.
Trích bài 4 (sic): Đoán đáp án ở bài 7.
Không có # phía trước số 7, nhưng có chũ "bài" ở trước số 7. Chả có chỗ nào mang nghĩa là Đáp án bằng 7 cả.
Hiểu theo cả 2 nghĩa:
- Đoán (rằng) đáp án ở bài 7 = Bài 7 sẽ có đáp án của 1 người nào đó sẽ viết. Do hiểu theo nghĩa này nên tôi viết bài 5, dấu 3 chấm ở đuôi có nghĩa là "nếu có bài spam xen vào", và bài 7 khẳng định bài 7 của mình viết ra không phải đáp án.
- (sẽ có ai đó) Đoán đáp án ở bài 7: Thì bài 7 chẳng đoán gì.
Bằng cách thần thánh nào mà hiểu rằng Đáp án bằng 7!
---------
Mà 7 chắc không đúng. Câu hỏi là ... tổng các chữ số của nó là A. Gọi B là tổng các chữ số của A. Tìm tổng các chữ số của B
Vậy thì tới B phải ngưng lại, chứ không phải tính C là tổng các chữ số của B, rồi tính tiếp D bằng tổng các chữ số của C, và tính đến cùng kiệt
Tức là trong bài #7 (nếu có tới bài số 7) thì chắc chắn có đáp án trong đó.
Bởi, nếu có bài #7 thì số 7 sẽ hiện ra.
Không tự nhiên em lại đi viết số 7.
------
Mà em cũng giải thích ở bài #11 rồi đó.
B=25
Tổng các chữ số của B bằng 7.
Mình lại cho rằng không tự nhiên có số 7. Theo như 1 câu đố trước đó quá khó không ai giải, thì ước chừng sau 6 bài chủ câu đố sẽ tự giải ở bài 7. nên spam tiếp theo ...
Mình lại cho rằng không tự nhiên có số 7. Theo như 1 câu đố trước đó quá khó không ai giải, thì ước chừng sau 6 bài chủ câu đố sẽ tự giải ở bài 7. nên spam tiếp theo ...
1. Hãy đánh giá số 9871^9871 lớn cỡ nào. Gợi ý nhỏ nữa là không cần đánh giá sít sao. Vd. nếu cần đánh giá tuổi của cô bé mới lớn thì anh An cho là x < 20, anh Dũng cho là chắc chắn 200% x < 30, còn cô Lan thì cả quyết là x < 123456. Tất cả mọi người đều đúng, về mặt toán học cả 3 bất đẳng thức đều đúng. Tuy nhiên trong toán người ta nói là bất đẳng thức 1 MẠNH nhất, còn bất đẳng thức 3 kém MẠNH nhất. Ở đây ta không cần đánh giá 9871^9871 mạnh đâu.
2. Với mọi số tự nhiên n thì số n và số bằng tổng các chữ số của n khi chia cho 9 cho cùng số dư. Tính chất này học sinh nào cũng biết. Khi tổng các chữ số của n chia cho 9 dư 0, có nghĩa là nó chia hết cho 9, thì n cũng chia cho 9 dư 0, tức n cũng chia hết cho 9.
Mà 7 chắc không đúng. Câu hỏi là ... tổng các chữ số của nó là A. Gọi B là tổng các chữ số của A. Tìm tổng các chữ số của B
Vậy thì tới B phải ngưng lại, chứ không phải tính C là tổng các chữ số của B, rồi tính tiếp D bằng tổng các chữ số của C, và tính đến cùng kiệt
2. Với mọi số tự nhiên n thì số n và số bằng tổng các chữ số của n khi chia cho 9 cho cùng số dư. Tính chất này học sinh nào cũng biết. Khi tổng các chữ số của n chia cho 9 dư 0, có nghĩa là nó chia hết cho 9, thì n cũng chia cho 9 dư 0, tức n cũng chia hết cho 9.
Chắc do mình không còn là học sinh nên không còn nhớ tính chất này
--
"Tổng các chữ số" của số X trong phần trình bày sau đây được hiểu là cộng tổng các chữ số của số X được kết quả A sau đó cộng tổng các chữ số của số A được kết quả B,... cho đến khi kết quả là số có 1 chữ số.
a ~ b được hiểu là a và b có tổng các chữ số bằng nhau.
Bài giải:
9871 chia 9 dư 7 nên đặt 9871 = 7 + 9a
9871^9871 = (7 + 9a)^9871 (*)
Áp dụng nhị thức Newton
Khi triển khai (*) theo nhị thức Newton thì từ số hạng thứ 2 đến số hạng thứ n là các số chia hết cho 9 do có thừa số 9aⁿ.
=> Phần dư của 9871^9871 / 9 bằng phần dư của 7^9871 / 9
=> 9871^9871 ~ 7^9871
Dễ thấy phần dư của tích 2 số a và b khi chia cho 9 bằng phần dư của tích [phần dư của a chia 9] và [phần dư của b chia 9] khi chia cho 9:
(9a + x)(9b + y) = 81ab + 9bx + 9ay + xy
7^9871 = 7^(3290*3+1) = 7*((7^3)^3290)
Mà 7^3 = 343 chia 9 dư 1
=> (7^3)^3290 chia 9 dư 1
=> 7*((7^3)^3290) chia 9 dư 7
9871^9871 ~ 7^9871 ~ 7
Kết luận: Tổng các chữ số của 9871^9871 bằng 7
-- Chỉ làm được đến đây. Gợi ý 1 chắc là để chứng minh khi tính tổng các chữ số đến lần thứ 3 (tổng các chữ số của B) chắc chắn được số có 1 chữ số nhưng chưa nghĩ ra.
Học sinh khi cần biết số có chia hết cho 3 hay cho 9 không thì cộng các chữ số của số đó rồi kiểm tra xem chung có chia hết cho 3 hay 9 không. CM cũng không khó. Giả sử các chữ số của k là a1, a2, ..., an
k = a1*10^(n-1) + a2*10^(n-2) + ... + a(n-1)*10 + an = a1*9...9 + a2*9...9 + ... + a(n-1)*9 + (a1 + a2 + ... + an)
<=> k và a1 + a2 + ... + an chia cho 3 hay cho 9 cho cùng số dư.
Số chia hết cho 4 khi và chỉ khi số tạo bởi 2 chữ số cuối chia hết cho 4.
Số chia hết cho 5 khi và chỉ khi tận cùng bằng 0 hoặc 5.
Số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu tổng các chữ số ở hàng chẵn và tổng các chữ số ở hàng lẻ chia hết cho 11. Vd. số 121. Có hiệu (1+ 1) - 2 = 0 chia hết cho 11 => 121 chia hết cho 11.
a ~ b được hiểu là a và b có tổng các chữ số bằng nhau.
...=> 9871^9871 ~ 7^9871
"Tổng các chữ số" của số X trong phần trình bày sau đây được hiểu là cộng tổng các chữ số của số X được kết quả A sau đó cộng tổng các chữ số của số A được kết quả B,... cho đến khi kết quả là số có 1 chữ số.
1. Hãy đánh giá số 9871^9871 lớn cỡ nào. Gợi ý nhỏ nữa là không cần đánh giá sít sao. Vd. nếu cần đánh giá tuổi của cô bé mới lớn thì anh An cho là x < 20, anh Dũng cho là chắc chắn 200% x < 30, còn cô Lan thì cả quyết là x < 123456. Tất cả mọi người đều đúng, về mặt toán học cả 3 bất đẳng thức đều đúng. Tuy nhiên trong toán người ta nói là bất đẳng thức 1 MẠNH nhất, còn bất đẳng thức 3 kém MẠNH nhất. Ở đây ta không cần đánh giá 9871^9871 mạnh đâu.
2. Với mọi số tự nhiên n thì số n và số bằng tổng các chữ số của n khi chia cho 9 cho cùng số dư. Tính chất này học sinh nào cũng biết. Khi tổng các chữ số của n chia cho 9 dư 0, có nghĩa là nó chia hết cho 9, thì n cũng chia cho 9 dư 0, tức n cũng chia hết cho 9.
Theo hướng dẫn 2 của bác
Vì mỗi số tự nhiên 1-9 khi lũy thừa rồi chia cho 9 sẽ tạo ra một dãy số có quy luật, nên tôi viết công thức tổng quát (áp dụng cho các số có kết quả thập phân >100) số a,b có thể khác nhau
Theo hướng dẫn 2 của bác
Vì mỗi số tự nhiên 1-9 khi lũy thừa rồi chia cho 9 sẽ tạo ra một dãy số có quy luật, nên tôi viết công thức tổng quát (áp dụng cho các số có kết quả thập phân >100) số a,b có thể khác nhau
"Tổng các chữ số" của số X trong phần trình bày sau đây được hiểu là cộng tổng các chữ số của số X được kết quả A sau đó cộng tổng các chữ số của số A được kết quả B,... cho đến khi kết quả là số có 1 chữ số.
Ah, không biết vụ công thức nên tôi chỉ giải thích mấu chốt thôi rồi gán thuật toán vào công thức nên công thức chính là lời giải, chứ bài này không có thuật toán đàng hoàng cũng đâu có code hay viết công thức được, như bài #23 của bạn @huuthang_bd chỉ đúng cho trường hợp 9871^9871, hay bác chỉ tính cho mỗi trường hợp 9871^9871?
- Nếu giải thích dựa vào gợi ý số 2 của bác thì tổng các số cuối cùng của 9871^9871=mod(9871,9)^9871=7^9871 (dùng nhị thức Newton như bạn @huuthang_bd)
- Các số tự nhiên 1-9 khi lũy thừa rồi chia cho 9 thì các số dư sẽ theo quy luật, ví dụ 7^(1,2,3,4,5,6...) chia 9 có các số dư tương ứng là 7,4,1,7,4,1...., các số còn lại tương tự
Với số 7 thì cứ 3 giai thừa nó sẽ quay lại (7,4,1), hay nói cách khác tổng số cuối cùng của các số 7^1, 7^4, 7^7, 7^10... sẽ bằng nhau , 7^2, 7^5, 7^8, 7^11 sẽ bằng nhau... Vì vậy 7^9871=7^mod(9871,3)=7^1=7, vì vậy tổng các chữ số cuối cùng của 9871^9871 sẽ là mod(7,9)=7
Công thức của tôi là dạng tổng quát cho các ý ở trên có thể dùng cho cho các số lớn hơn và khác nhau
Nếu chỉ có trường hợp 9871^9871 thì chứng minh không khó
A=9871^9871
<=>A<10000^10000
Gọi A1 là chiều dài của A
<=>A1<5*10000-1=49.999
Gọi A2 là tổng các chữ số của A
<=>A2<49.999*9=449.991
Tổng các chữ số của A (max)
<=>B=4+4+9+9+9+1=36
Tổng các chữ số B (max)
<=>3+6=9 chỉ có 1 chữ số (cũng chính là là số B trong đề bài của bác)
Không cần xét 6 giá trị đâu.
Gọi s(n) là tổng các chữ số của n. Ta có B < 54 => s(B) < 5+9 (thực ra là 4 + 9 ứng với số 49 nhưng tôi đã nói là không cần ước lượng sít sao) = 14
9871^9871 chia cho 9 dư 7 vậy cả A = s(9871^9871) cũng như B = s(A) và s(B) = s(s(A)) đều chia cho 9 dư 7. Do s(B) < 14 nên s(B) = 7 (đpcm)
Bài đã được tự động gộp:
Kiến thức về phép toán modulo.
Nếu a chia cho c dư r, b chia cho c dư p thì a*b và r*p chia cho c cho cùng số dư, tức a*b - r*p chia HẾT cho c. mệnh đề (1)
CM: a = m*c + r, b = n*c + p => a*b - r*p = m*n*c^2 + c(m*p + n*r) chia hết cho c.
Hệ quả 1:Với mọi số tự nhiên n có a^n và r^n chia cho c cho cùng số dư, tức a^n - r^n chia hết cho c.
CM:
Có thể chứng minh bằng qui nạp hoặc liệt kê như sau.
a^2 = a*a và r^2 = r*r chia cho c cho cùng số dư (trong (1) thay b bằng a)
a^3 = a*a^2 và r^3 = r*r^2 chia cho c cho cùng số dư (trong (1) thay b bằng a^2)
...
a^n = a*a^(n-1) và r^n = r*r^(n-1) chia cho c cho cùng số dư (trong (1) thay b bằng a^(n-1))
Kết luận 1: nếu a chia cho c dư 1 thì a^n chia cho c dư 1 với mọi n.
Hệ quả 2: a + b và r + p chia cho c cho cùng số dư. Tức a + b - (r + p) chia hết cho c.
CM: a = m*c + r, b = n*c + p => a + b - (r + p) = (m + n)*c chia hết cho c.
Nếu a chia cho c dư r thì a^n và r^n chia cho c cho cùng số dư, tức a^n - r^n chia hết cho c mệnh đề (2)
CM: chứng minh bằng cách dùng khai triển nhị thức Newton (a+b)^n như ở bài #23.
Chú ý: tôi chứng minh cho mọi người biết thôi. Khi đi thi học sinh giỏi người ta không bắt thí sinh chứng minh. Thứ nhất là các phép toán modulo rất đơn giản, dễ hiểu, dễ chứng minh. Và nguyên tắc là những kiến thức học ở nhà trường và những kiến thức phổ biến, có thể có từ nhiều nguồn như sách báo thì không bao giờ phải chứng minh. Trong trường học học sinh có thể không học định lý Fécma (Fermat) nhưng đó là kiến thức công khai, ai học toán cũng biết, có thể đọc từ sách báo. Vì thế khi đi thi học sinh giỏi chỉ sử dụng thôi, không cần chứng minh định lý Fécma.
-------
Đã có lời giải dù chưa chặt chẽ nên tôi gửi lời giải.
Ta ký hiệu s(n) là tổng các chữ số của số tự nhiên n.
Từ tính chất chia hết cho 9 ta biết rằng s(n) và n chia cho 9 cho cùng số dư.
Tức n, s(n), s(s(n)), s(s(s(n))), ... chia cho 9 cho cùng số dư.
s(9871) = 25 chia cho 9 dư 7. Tức 9871 chia cho 9 dư 7. 9871^3 và 7^3 (343) chia cho 9 cho cùng số dư - mệnh đề (2) ở trên, và số dư đó là 1 (s(7^3) = s(343) = 10 chia cho 9 dư 1)
Vậy 9871^9871 = 9871^(3*3290+1) = (9871^3)^3290 * 9871 chia cho 9 dư 1*7 = 7 ((9871^3)^3290 chia cho 9 dư 1 do Kết luận 1 ở trên)
9871^9871 < (10^4)^9871 = 10^(4*9871) = 10^39484. Vậy số chữ số của 9871^9871 không vượt quá 39484.
A = s(9871^9871) <= 9*39484 = 355356, tức số chữ số của A không vượt quá 6
B = s(A) <= 6*9 = 54, tức số B cùng lắm là có 2 chữ số với chữ số hàng chục nhỏ hơn 6.
s(B) <= 5 + 9 = 14.
9871^9871 chia cho 9 dư 7 vậy cả A = s(9871^9871) cũng như B = s(A) và s(B) = s(s(A)) đều chia cho 9 dư 7. Do s(B) <= 14 nên s(B) = 7 (đpcm)
