Toán bài 1

[Phuocam]

Mà 7 chắc không đúng. Câu hỏi là
... tổng các chữ số của nó là A. Gọi B là tổng các chữ số của A. Tìm tổng các chữ số của B
Vậy thì tới B phải ngưng lại, chứ không phải tính C là tổng các chữ số của B, rồi tính tiếp D bằng tổng các chữ số của C, và tính đến cùng kiệt

. . .

 

[ptm0412]

. . .

Bài đó tôi biết rằng tôi hơi sai sai, muốn giấu dốt, lại còn khui ra ...

 

[huuthang_bd]

2. Với mọi số tự nhiên n thì số n và số bằng tổng các chữ số của n khi chia cho 9 cho cùng số dư. Tính chất này học sinh nào cũng biết. Khi tổng các chữ số của n chia cho 9 dư 0, có nghĩa là nó chia hết cho 9, thì n cũng chia cho 9 dư 0, tức n cũng chia hết cho 9.

Chắc do mình không còn là học sinh nên không còn nhớ tính chất này
--
"Tổng các chữ số" của số X trong phần trình bày sau đây được hiểu là cộng tổng các chữ số của số X được kết quả A sau đó cộng tổng các chữ số của số A được kết quả B,... cho đến khi kết quả là số có 1 chữ số.
a ~ b được hiểu là a và b có tổng các chữ số bằng nhau.

Bài giải:
9871 chia 9 dư 7 nên đặt 9871 = 7 + 9a
9871^9871 = (7 + 9a)^9871 (*)
Áp dụng nhị thức Newton

Khi triển khai (*) theo nhị thức Newton thì từ số hạng thứ 2 đến số hạng thứ n là các số chia hết cho 9 do có thừa số 9aⁿ.
=> Phần dư của 9871^9871 / 9 bằng phần dư của 7^9871 / 9
=> 9871^9871 ~ 7^9871
Dễ thấy phần dư của tích 2 số a và b khi chia cho 9 bằng phần dư của tích [phần dư của a chia 9] và [phần dư của b chia 9] khi chia cho 9:
(9a + x)(9b + y) = 81ab + 9bx + 9ay + xy

7^9871 = 7^(3290*3+1) = 7*((7^3)^3290)
Mà 7^3 = 343 chia 9 dư 1
=> (7^3)^3290 chia 9 dư 1
=> 7*((7^3)^3290) chia 9 dư 7
9871^9871 ~ 7^9871 ~ 7
Kết luận: Tổng các chữ số của 9871^9871 bằng 7
--
Chỉ làm được đến đây. Gợi ý 1 chắc là để chứng minh khi tính tổng các chữ số đến lần thứ 3 (tổng các chữ số của B) chắc chắn được số có 1 chữ số nhưng chưa nghĩ ra.

 

[huhumalu]

Kết luận: Tổng các chữ số của 9871^9871 bằng 7

Em phải há hốc mồm trong khi đọc lời giải.

 

[batman1]

...

 

[batman1]

Chắc do mình không còn là học sinh nên không còn nhớ tính chất này

Học sinh khi cần biết số có chia hết cho 3 hay cho 9 không thì cộng các chữ số của số đó rồi kiểm tra xem chung có chia hết cho 3 hay 9 không. CM cũng không khó. Giả sử các chữ số của k là a1, a2, ..., an
k = a1*10^(n-1) + a2*10^(n-2) + ... + a(n-1)*10 + an = a1*9...9 + a2*9...9 + ... + a(n-1)*9 + (a1 + a2 + ... + an)
<=> k và a1 + a2 + ... + an chia cho 3 hay cho 9 cho cùng số dư.

Số chia hết cho 4 khi và chỉ khi số tạo bởi 2 chữ số cuối chia hết cho 4.
Số chia hết cho 5 khi và chỉ khi tận cùng bằng 0 hoặc 5.
Số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu tổng các chữ số ở hàng chẵn và tổng các chữ số ở hàng lẻ chia hết cho 11. Vd. số 121. Có hiệu (1+ 1) - 2 = 0 chia hết cho 11 => 121 chia hết cho 11.

a ~ b được hiểu là a và b có tổng các chữ số bằng nhau.
...=> 9871^9871 ~ 7^9871

Chưa chắc. Chỉ có thể nói là 9871^9871 và 7^9871 cho cùng số dư khi chia cho 9. Hoặc tổng các chữ số của 9871^9871 và tổng các chữ số của 7^9871 cho cùng số dư khi chia cho 9.

 

[huuthang_bd]

Chưa chắc. Chỉ có thể nói là 9871^9871 và 7^9871 cho cùng số dư khi chia cho 9. Hoặc tổng các chữ số của 9871^9871 và tổng các chữ số của 7^9871 cho cùng số dư khi chia cho 9.

Tổng các chữ số được hiểu theo nghĩa này nha bác.

"Tổng các chữ số" của số X trong phần trình bày sau đây được hiểu là cộng tổng các chữ số của số X được kết quả A sau đó cộng tổng các chữ số của số A được kết quả B,... cho đến khi kết quả là số có 1 chữ số.

 

[excel_lv1.5]

Tôi đưa ra hẳn 2 gợi ý.

1. Hãy đánh giá số 9871^9871 lớn cỡ nào. Gợi ý nhỏ nữa là không cần đánh giá sít sao. Vd. nếu cần đánh giá tuổi của cô bé mới lớn thì anh An cho là x < 20, anh Dũng cho là chắc chắn 200% x < 30, còn cô Lan thì cả quyết là x < 123456. Tất cả mọi người đều đúng, về mặt toán học cả 3 bất đẳng thức đều đúng. Tuy nhiên trong toán người ta nói là bất đẳng thức 1 MẠNH nhất, còn bất đẳng thức 3 kém MẠNH nhất. Ở đây ta không cần đánh giá 9871^9871 mạnh đâu.

2. Với mọi số tự nhiên n thì số n và số bằng tổng các chữ số của n khi chia cho 9 cho cùng số dư. Tính chất này học sinh nào cũng biết. Khi tổng các chữ số của n chia cho 9 dư 0, có nghĩa là nó chia hết cho 9, thì n cũng chia cho 9 dư 0, tức n cũng chia hết cho 9.

Cố lên mọi người ơi.

Theo hướng dẫn 2 của bác
Vì mỗi số tự nhiên 1-9 khi lũy thừa rồi chia cho 9 sẽ tạo ra một dãy số có quy luật, nên tôi viết công thức tổng quát (áp dụng cho các số có kết quả thập phân >100) số a,b có thể khác nhau

 

[Chả_biết_gì]

Nói chung là đọc xong lời giải vẫn chưa hiểu.

 

[batman1]

Tổng các chữ số được hiểu theo nghĩa này nha bác.

Không kết luận được là tổng các chữ số của 9871^9871 và tổng các chữ số của 7^9871 bằng nhau đâu.

Vd. 9871 chia cho 9 dư 7. Vậy 9871^2 và 7^2 chia cho 9 cho cùng số dư. Thật thế 9871^2 = 97436641 chia cho 9 dư 4, và 7^2 = 49 cũng chia cho 9 dư 4. Nhưng tổng các chữ số của 9871^2 = 9+7+4+3+6+6+4+1 = 40 không thể bằng tổng các chữ số của 7^2 = 4+9 = 13

Viết a ~ b được hiểu là a và b có tổng các chữ số bằng nhau và sau đó => 9871^9871 ~ 7^9871 thì có nghĩa là viết:

9871^9871 và 7^9871 có tổng các chữ số bằng nhau.

Rõ ràng kết luận trên là sai. Chỉ có thể kết luận được là 9871^9871 và 7^9871 khi chia cho 9 có cùng số dư. Hoặc tương đương:
(9871^9871 - 7^9871) chia hết cho 9.

Đã là toán thì phát biểu phải thật chính xác.

Theo hướng dẫn 2 của bác
Vì mỗi số tự nhiên 1-9 khi lũy thừa rồi chia cho 9 sẽ tạo ra một dãy số có quy luật, nên tôi viết công thức tổng quát (áp dụng cho các số có kết quả thập phân >100) số a,b có thể khác nhau

Tôi không theo dõi bạn định làm gì và có đúng không. Vì tôi đưa ra bài toán nên tôi chỉ mong chờ lời giải bài toán. Chỉ giải toán chứ không phải là viết công thức Excel hay viết code VBA. Thư giãn với toán chứ không thư giãn với Excel, không thư giãn với lập trình.

Nói chung là đọc xong lời giải vẫn chưa hiểu.

Đã có lời giải hoàn chỉnh nào đâu. Kiến thức dùng để giải toán nhiều khi rất đơn giản, dễ hiểu với mỗi ai chú ý theo dõi. Cái khó hơn rất nhiều là ý tưởng, là tìm ra hướng đi.

 

[huuthang_bd]

"Tổng các chữ số" của số X trong phần trình bày sau đây được hiểu là cộng tổng các chữ số của số X được kết quả A sau đó cộng tổng các chữ số của số A được kết quả B,... cho đến khi kết quả là số có 1 chữ số.

Em đã tuyên bố ngay từ đầu mà bác.

Vd. 9871 chia cho 9 dư 7. Vậy 9871^2 và 7^2 chia cho 9 cho cùng số dư. Thật thế 9871^2 = 97436641 chia cho 9 dư 4, và 7^2 = 49 cũng chia cho 9 dư 4. Nhưng tổng các chữ số của 9871^2 = 9+7+4+3+6+6+4+1 = 40 không thể bằng tổng các chữ số của 7^2 = 4+9 = 13

Theo như tuyên bố bên trên thì phải như thế này:
9871^2 = 9+7+4+3+6+6+4+1 = 40 = 4+0 = 4
7^2 = 4+9 = 13 = 1+3 = 4
=> 9871^2 ~ 7^2

 

[batman1]

Em đã tuyên bố ngay từ đầu mà bác.

À, tôi bỏ sót đoạn bôi đậm. Xin lỗi.

 

[excel_lv1.5]

Tôi không theo dõi bạn định làm gì và có đúng không. Vì tôi đưa ra bài toán nên tôi chỉ mong chờ lời giải bài toán. Chỉ giải toán chứ không phải là viết công thức Excel hay viết code VBA. Thư giãn với toán chứ không thư giãn với Excel, không thư giãn với lập trình.

Ah, không biết vụ công thức nên tôi chỉ giải thích mấu chốt thôi rồi gán thuật toán vào công thức nên công thức chính là lời giải, chứ bài này không có thuật toán đàng hoàng cũng đâu có code hay viết công thức được, như bài #23 của bạn @huuthang_bd chỉ đúng cho trường hợp 9871^9871, hay bác chỉ tính cho mỗi trường hợp 9871^9871?
- Nếu giải thích dựa vào gợi ý số 2 của bác thì tổng các số cuối cùng của 9871^9871=mod(9871,9)^9871=7^9871 (dùng nhị thức Newton như bạn @huuthang_bd)
- Các số tự nhiên 1-9 khi lũy thừa rồi chia cho 9 thì các số dư sẽ theo quy luật, ví dụ 7^(1,2,3,4,5,6...) chia 9 có các số dư tương ứng là 7,4,1,7,4,1...., các số còn lại tương tự
Với số 7 thì cứ 3 giai thừa nó sẽ quay lại (7,4,1), hay nói cách khác tổng số cuối cùng của các số 7^1, 7^4, 7^7, 7^10... sẽ bằng nhau , 7^2, 7^5, 7^8, 7^11 sẽ bằng nhau... Vì vậy 7^9871=7^mod(9871,3)=7^1=7, vì vậy tổng các chữ số cuối cùng của 9871^9871 sẽ là mod(7,9)=7
Công thức của tôi là dạng tổng quát cho các ý ở trên có thể dùng cho cho các số lớn hơn và khác nhau

 

[batman1]

hay bác chỉ tính cho mỗi trường hợp 9871^9871?

Tôi cho bài với 9871^9871 cụ thể. Cũng chỉ cần cho trường hợp này thôi, không yêu cầu gì thêm.

vì vậy tổng các chữ số cuối cùng của 9871^9871 sẽ là mod(7,9)=7

cuối cùng, tức cứ cộng các chữ số rồi được tổng thì lại cộng các chữ số của nó, cứ lặp lại thao tác như vậy thì sau hữu hạn bước sẽ có tổng là 1 chữ số và chữ số đó là 7. Nhưng bài chỉ cho tính đến tổng các chữ số của B. Vậy cái đã chứng minh được ở trên không phải là cái mà bài yêu cầu. Nếu bạn đi theo hướng trên và chứng minh được thêm là tổng các chữ số của B chỉ có 1 chữ số thì đó mới là lời giải.

 

[excel_lv1.5]

Tôi cho bài với 9871^9871 cụ thể. Cũng chỉ cần cho trường hợp này thôi, không yêu cầu gì thêm.

cuối cùng, tức cứ cộng các chữ số rồi được tổng thì lại cộng các chữ số của nó, cứ lặp lại thao tác như vậy thì sau hữu hạn bước sẽ có tổng là 1 chữ số và chữ số đó là 7. Nhưng bài chỉ cho tính đến tổng các chữ số của B. Vậy cái đã chứng minh được ở trên không phải là cái mà bài yêu cầu. Nếu bạn đi theo hướng trên và chứng minh được thêm là tổng các chữ số của B chỉ có 1 chữ số thì đó mới là lời giải.

Nếu chỉ có trường hợp 9871^9871 thì chứng minh không khó
A=9871^9871
<=>A<10000^10000
Gọi A1 là chiều dài của A
<=>A1<5*10000-1=49.999
Gọi A2 là tổng các chữ số của A
<=>A2<49.999*9=449.991
Tổng các chữ số của A (max)
<=>B=4+4+9+9+9+1=36
Tổng các chữ số B (max)
<=>3+6=9 chỉ có 1 chữ số (cũng chính là là số B trong đề bài của bác)

 

[batman1]

<=>A2<49.999*9=449.991
Tổng các chữ số của A (max)
<=>B=4+4+9+9+9+1=36

Tại sao lại 4+4+9+9+9+1? A2< 449.991 chứ có phải A2 = 449.991 mà cộng 4+4+9+9+9+1?
Tôi và bạn đều không biết rõ giá trị của A2. Nhưng nếu có A2< 449.991 thì rất có thể A2= 99999 chứ. Và lúc đấy là
9+9+9+9+9 = 45 > 36

Tổng các chữ số B (max)
<=>3+6=9 chỉ có 1 chữ số (cũng chính là là số B trong đề bài của bác)

Kết quả bài này là 7 mà.

Mà thực ra nếu cứ cho là 36 thì cũng chỉ là B <= 36 chứ làm sao bạn biết nó là B = 36? Vì từ A2< 449.991 thì rất có thể A2= 99999 và => 45, mà cũng có thể là A2 = 99998 và => 44, hoặc A2 = 99965 => 38. Cũng có thể là A2= 399999 (thỏa A2< 449.991) và =>
3+9+9+9+9+8 = 48
Cùng lắm là bạn có B < 48 (hoặc một số nào đó) hoặc B <= 48. Không bao giờ chắc chắn để có thể dùng dấu =

 

[excel_lv1.5]

Nếu bạn đi theo hướng trên và chứng minh được thêm là tổng các chữ số của B chỉ có 1 chữ số thì đó mới là lời giải.

Kết quả bài này là 7 mà.

Tôi chứng minh chỗ này bác ạ, bằng 7 tôi đã giải thích ở bài #33

 

[VMH0307]

Có lẽ nên viết là B < (9+9+9+9+9+9) <=> B < 54
Mà B chia cho 9 dư 7 nên B có thể nhận các giá trị: 7, 16, 25, 34, 43, 52
Suy ra C=7

 

[batman1]

Tôi chứng minh chỗ này bác ạ, bằng 7 tôi đã giải thích ở bài #33

Trong bài 36 tôi chỉ ra nhiều chỗ có vấn đề, về mặt toán học là không chặt chẽ mà.

Tôi đã nói là cần đánh giá giá trị của A và bạn đã làm được. Chỉ còn 1 với tay nữa là xong.

Bài đã được tự động gộp: 18/2/22

Có lẽ nên viết là B < (9+9+9+9+9+9) <=> B < 54
Mà B chia cho 9 dư 7 nên B có thể nhận các giá trị: 7, 16, 25, 34, 43, 52
Suy ra C=7

Không cần xét 6 giá trị đâu.
Gọi s(n) là tổng các chữ số của n. Ta có B < 54 => s(B) < 5+9 (thực ra là 4 + 9 ứng với số 49 nhưng tôi đã nói là không cần ước lượng sít sao) = 14
9871^9871 chia cho 9 dư 7 vậy cả A = s(9871^9871) cũng như B = s(A) và s(B) = s(s(A)) đều chia cho 9 dư 7. Do s(B) < 14 nên s(B) = 7 (đpcm)

Bài đã được tự động gộp: 18/2/22

Kiến thức về phép toán modulo.

Nếu a chia cho c dư r, b chia cho c dư p thì a*b và r*p chia cho c cho cùng số dư, tức a*b - r*p chia HẾT cho c. mệnh đề (1)
CM: a = m*c + r, b = n*c + p => a*b - r*p = m*n*c^2 + c(m*p + n*r) chia hết cho c.

Hệ quả 1:Với mọi số tự nhiên n có a^n và r^n chia cho c cho cùng số dư, tức a^n - r^n chia hết cho c.
CM:
Có thể chứng minh bằng qui nạp hoặc liệt kê như sau.
a^2 = a*a và r^2 = r*r chia cho c cho cùng số dư (trong (1) thay b bằng a)
a^3 = a*a^2 và r^3 = r*r^2 chia cho c cho cùng số dư (trong (1) thay b bằng a^2)
...
a^n = a*a^(n-1) và r^n = r*r^(n-1) chia cho c cho cùng số dư (trong (1) thay b bằng a^(n-1))

Kết luận 1: nếu a chia cho c dư 1 thì a^n chia cho c dư 1 với mọi n.

Hệ quả 2: a + b và r + p chia cho c cho cùng số dư. Tức a + b - (r + p) chia hết cho c.
CM: a = m*c + r, b = n*c + p => a + b - (r + p) = (m + n)*c chia hết cho c.

Nếu a chia cho c dư r thì a^n và r^n chia cho c cho cùng số dư, tức a^n - r^n chia hết cho c mệnh đề (2)
CM: chứng minh bằng cách dùng khai triển nhị thức Newton (a+b)^n như ở bài #23.

Chú ý: tôi chứng minh cho mọi người biết thôi. Khi đi thi học sinh giỏi người ta không bắt thí sinh chứng minh. Thứ nhất là các phép toán modulo rất đơn giản, dễ hiểu, dễ chứng minh. Và nguyên tắc là những kiến thức học ở nhà trường và những kiến thức phổ biến, có thể có từ nhiều nguồn như sách báo thì không bao giờ phải chứng minh. Trong trường học học sinh có thể không học định lý Fécma (Fermat) nhưng đó là kiến thức công khai, ai học toán cũng biết, có thể đọc từ sách báo. Vì thế khi đi thi học sinh giỏi chỉ sử dụng thôi, không cần chứng minh định lý Fécma.
-------
Đã có lời giải dù chưa chặt chẽ nên tôi gửi lời giải.

Ta ký hiệu s(n) là tổng các chữ số của số tự nhiên n.
Từ tính chất chia hết cho 9 ta biết rằng s(n) và n chia cho 9 cho cùng số dư.
Tức n, s(n), s(s(n)), s(s(s(n))), ... chia cho 9 cho cùng số dư.

s(9871) = 25 chia cho 9 dư 7. Tức 9871 chia cho 9 dư 7. 9871^3 và 7^3 (343) chia cho 9 cho cùng số dư - mệnh đề (2) ở trên, và số dư đó là 1 (s(7^3) = s(343) = 10 chia cho 9 dư 1)
Vậy 9871^9871 = 9871^(3*3290+1) = (9871^3)^3290 * 9871 chia cho 9 dư 1*7 = 7 ((9871^3)^3290 chia cho 9 dư 1 do Kết luận 1 ở trên)
9871^9871 < (10^4)^9871 = 10^(4*9871) = 10^39484. Vậy số chữ số của 9871^9871 không vượt quá 39484.
A = s(9871^9871) <= 9*39484 = 355356, tức số chữ số của A không vượt quá 6
B = s(A) <= 6*9 = 54, tức số B cùng lắm là có 2 chữ số với chữ số hàng chục nhỏ hơn 6.
s(B) <= 5 + 9 = 14.
9871^9871 chia cho 9 dư 7 vậy cả A = s(9871^9871) cũng như B = s(A) và s(B) = s(s(A)) đều chia cho 9 dư 7. Do s(B) <= 14 nên s(B) = 7 (đpcm)