TÍNH DIỆN TÍCH MỘT PHẦN HÌNH TRÒN (6 người xem)

[Hugo Nguyen]

Chào mọi người, em có bài toán tính diện tích như sau mà không tìm ra lời giải, nhờ mọi người giúp đỡ tìm phương pháp giải, xin cảm ơn mọi người!
Chia nửa đường tròn làm 6 phần bằng nhau, kẻ hai đường a và b song song với nhau, biết nửa đường tròn đó có diện tích 100 đơn vị.
Yêu cầu tính diện tích phần gạch chéo?

 

[tigertiger]

Chào mọi người, em có bài toán tính diện tích như sau mà không tìm ra lời giải, nhờ mọi người giúp đỡ tìm phương pháp giải, xin cảm ơn mọi người!
Chia nửa đường tròn làm 6 phần bằng nhau, kẻ hai đường a và b song song với nhau, biết nửa đường tròn đó có diện tích 100 đơn vị.
Yêu cầu tính diện tích phần gạch chéo?
View attachment 250063

Đây là bài hình học thôi, nhờ học sinh lớp 10 là giải được
Kẻ thêm mấy đường phụ, Lấy hình Quạt trừ đi diện tích cung dây và tam giác là có kết quả

 

[Hugo Nguyen]

Đây là bài hình học thôi, nhờ học sinh lớp 10 là giải được
Kẻ thêm mấy đường phụ, Lấy hình Quạt trừ đi diện tích cung dây và tam giác là có kết quả

Cách này khả quan không bác?
Em cứ nghĩ phải dùng tích phân tính mới ra được...

 

[CHAOQUAY]

Chào mọi người, em có bài toán tính diện tích như sau mà không tìm ra lời giải, nhờ mọi người giúp đỡ tìm phương pháp giải, xin cảm ơn mọi người!
Chia nửa đường tròn làm 6 phần bằng nhau, kẻ hai đường a và b song song với nhau, biết nửa đường tròn đó có diện tích 100 đơn vị.
Yêu cầu tính diện tích phần gạch chéo?
View attachment 250063

Nối điểm phân chia thứ 2 ( từ trái sang ) về tâm là sẽ tính được

 

[Hugo Nguyen]

Nối điểm phân chia thứ 2 ( từ trái sang ) về tâm là sẽ tính được

Vẫn chưa hiểu ý đồ của bác lắm ạ!

 

[batman1]

Có thể tôi biến đổi cộng trừ nhân chia có sai sót. Nhưng hướng đi của tôi là như sau.



Gọi DH vuông góc với CI, CH' vuông góc với AO.
Dễ thấy góc OCD = 75° (góc ở đáy của tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 30°)
Góc OCI = góc COA - góc CIO = góc COA - góc DGI (do DG // CI) = 60° - 45° = 15°
=> góc ICD = góc OCD - góc OCI = 75° - 15° = 60° = π/3 radian.
DH = CD*sin(góc ICD) = CD * √3 / 2 = 2*r*sin(π/12) * √3 / 2 = √3 * r * sin(π/12)

Diện tích S(CDGI) = S(DGI) + S(CDI) = (DH/2)*DG + (DH/2)*CI = (DH/2)*(DG + CI)
= (DH/2)*(OG*√2 + CH'*√2) = (√2 / 2) * DH * (r + r*√3 / 2) = (√2 / 2) * DH * r * (1 + √3 / 2)
= (√2 / 2) * (√3 * r * sin(π/12)) * r * (1 + √3 / 2) = (√2 / 2) * (√3 + 3 / 2) * sin(π/12) * r²
= (√2 / 2) * (√3 + 3 / 2) * sin(π/12) * (200 / π)

 

[Hugo Nguyen]

Có thể tôi biến đổi cộng trừ nhân chia có sai sót. Nhưng hướng đi của tôi là như sau.

View attachment 250071

Gọi DH vuông góc với CI, CH' vuông góc với AO.
Dễ thấy góc OCD = 75° (góc ở đáy của tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 30°)
Góc OCI = góc COA - góc CIO = góc COA - góc DGI (do DG // CI) = 60° - 45° = 15°
=> góc ICD = góc OCD - góc OCI = 75° - 15° = 60° = π/3 radian.
DH = CD*sin(góc ICD) = CD * √3 / 2 = 2*r*sin(π/12) * √3 / 2 = √3 * r * sin(π/12)

Diện tích S(CDGI) = S(DGI) + S(CDI) = (DH/2)*DG + (DH/2)*CI = (DH/2)*(DG + CI)
= (DH/2)*(OG*√2 + CH'*√2) = (√2 / 2) * DH * (r + r*√3 / 2) = (√2 / 2) * DH * r * (1 + √3 / 2)
= (√2 / 2) * (√3 * r * sin(π/12)) * r * (1 + √3 / 2) = (√2 / 2) * (√3 + 3 / 2) * sin(π/12) * r²
= (√2 / 2) * (√3 + 3 / 2) * sin(π/12) * (200 / π)

Công thức tính diện tích S(CDI) hình như có nhầm lẫn bác ạ, CD là một cung tròn chứ không phải đoạn thẳng!

Bài đã được tự động gộp: 26/11/20

Công thức tính diện tích S(CDI) hình như có nhầm lẫn bác ạ, CD là một cung tròn chứ không phải đoạn thẳng!

Hoặc do em viết yêu cầu đề bài không rõ ràng làm bác hiểu nhầm, em xin sửa lại chút là cần tính diện tích hình CDGI ạ.

 

[batman1]

Công thức tính diện tích S(CDI) hình như có nhầm lẫn bác ạ, CD là một cung tròn chứ không phải đoạn thẳng!

Bài đã được tự động gộp: 26/11/20

Hoặc do em viết yêu cầu đề bài không rõ ràng làm bác hiểu nhầm, em xin sửa lại chút là cần tính diện tích hình CDGI ạ.
View attachment 250072

Nếu là cung tròn thì chỉ cộng thêm diện tích S(CcungCDDC). Diện tích đó = diện tích hình quạt OCDO (= 100/6) - trừ diện tích tam giác OCD (= r² * sin(góc COD) = r² * sin(π/6) = (200/π)*sin(π/6))

Kết quả = S(tứ giác CDGI) + S(CcungCDDC) = <cái tôi tính ở bài trước) + 100/6 - (200/π)*sin(π/6)

 

[Hugo Nguyen]

Nếu là cung tròn thì chỉ cộng thêm diện tích S(CcungCDDC). Diện tích đó = diện tích hình quạt OCDO (= 100/6) - trừ diện tích tam giác OCD (= r² * sin(góc COD) = r² * sin(π/6) = (200/π)*sin(π/6))

Kết quả = S(tứ giác CDGI) + S(CcungCDDC) = <cái tôi tính ở bài trước) + 100/6 - (200/π)*sin(π/6)

Vâng cảm ơn bác nhiều về bài giải ạ, em cũng có theo hướng gợi ý của bác CHAOQUAY giải theo cách này mà có vẻ đáp án không khớp với đáp án của bác, để em xem lại xem.
Ta có: Diện tích cung S(OAC) = (π*r²*n)/360 = (π*r²*n)/360 = (π*r²)/3
Diện tích viên phân S(BCB) = S.cung(OBC) - S.tam giác(OBC) = (π*r²)/4 - r²/2
Diện tích tam giác S(OAD) = r²*(√2-1)/(4√2)

Diện tích S(ABCD) = S(OAC) - S(BCB) - S(OAD)
= 200/12 + 100/π - 200*(√2-1)/(π.4√2)
≈ 43.83611

 

[batman1]

Vâng cảm ơn bác nhiều về bài giải ạ, em cũng có theo hướng gợi ý của bác CHAOQUAY giải theo cách này mà có vẻ đáp án không khớp với đáp án của bác, để em xem lại xem.
Ta có: Diện tích cung S(OAC) = (π*r²*n)/360 = (π*r²*n)/360 = (π*r²)/3
Diện tích viên phân S(BCB) = S.cung(OBC) - S.tam giác(OBC) = (π*r²)/4 - r²/2
Diện tích tam giác S(OAD) = r²*(√2-1)/(4√2)

Diện tích S(ABCD) = S(OAC) - S(BCB) - S(OAD)
= 200/12 + 100/π - 200*(√2-1)/(π.4√2)
≈ 43.83611

View attachment 250074

Tôi nhìn qua thì có vẻ diện tích tam giác S(OAD) = r²*(3 - 2*√3) / 8 <> r²*(√2-1)/(4√2)

Bạn thử diễn giải cách tính diện tích tam giác S(OAD) của bạn xem có lỗi chỗ nào không.

 

[CHAOQUAY]

Vẫn chưa hiểu ý đồ của bác lắm ạ!

Theo hình của bác @batman1
Hình viên phân DEFG, hình quạt OABC tính được

Cần tìm diện tích tam giác OIC:
góc AOC=60 độ, biết bán kính => tính được CH'
=>tính được diện tích tam giác OCH' (1)

a//b, OIC & OGD đồng vị = 45 độ
OIC=45 độ, biết CH' => tính được diện tích ICH' (2)

từ 1 & 2 => diện tích OIC
Lấy diện tích 1/2 hình tròn trừ các diện tích trên => IGDC

 

[tigertiger]

Cách này khả quan không bác?
Em cứ nghĩ phải dùng tích phân tính mới ra được...

Quá khả quan, lớp 9 lớp 10 là giải tốt rồi, chỉ là hình học đơn thuần

 

[VetMini]

...
Cần tìm diện tích tam giác OIC:
...

Diện tích tam giác CIH' dễ tính hơn. Nó là nửa hình vuông, cạnh R nhân căn ba chia hai.

Quá khả quan, lớp 9 lớp 10 là giải tốt rồi, chỉ là hình học đơn thuần

Quen toán giải tích rồi thì tích phân cũng không khó. Tất cả các đường vẽ đều có thể suy ra phương trình.

 

[tigertiger]

Quen toán giải tích rồi thì tích phân cũng không khó. Tất cả các đường vẽ đều có thể suy ra phương trình.

Đúng thế bác, chọn tọa độ, lập phương trình, xác định cận, tích phân xong

 

[befaint]

Quá khả quan, lớp 9 lớp 10 là giải tốt rồi, chỉ là hình học đơn thuần

Môn Hình học lớp 8 là giải được rồi anh ơi.

 

[Hugo Nguyen]

Tôi nhìn qua thì có vẻ diện tích tam giác S(OAD) = r²*(3 - 2*√3) / 8 <> r²*(√2-1)/(4√2)

Bạn thử diễn giải cách tính diện tích tam giác S(OAD) của bạn xem có lỗi chỗ nào không.

r²*(√2-1)/(4√2) : cái này em đưa vào hệ tọa độ tính nhưng có vẻ tính nhầm rồi bác ạ.
Nhưng tính như cách của bác CHAOQUAY thì kết quả có vẻ là : r²*(3 - √3) / 8
S(OAD) = S(GAD) - S(GAO) = (r²*3) / 8 - (r²*√3) / 8 = r²*(3 - √3) / 8

 

[huuthang_bd]

Mượn hình bài trên
View attachment 250102
Từ diện tích hình tròn tính được bán kính R
GAO là tam giác vuông có OA = R, OG = R/2 => Tính được AG
Góc OAD là góc đáy của tam giác cân có góc đỉnh = 150 => góc OAD = 15
Góc GAD = góc GAO + góc OAD = 30+15 = 45 => Tam giác GAD là tam giác vuông cân => GD = AG
Tính được OD = GD - OG
Có OD và AG tính được diện tích tam giác AOD
Diện tính cần tính = Diện tích hình quạt tròn AOC - Diện tích tam giác AOD - Diện tích cung tròn BC.

 

[tigertiger]

r²*(√2-1)/(4√2) : cái này em đưa vào hệ tọa độ tính nhưng có vẻ tính nhầm rồi bác ạ.
Nhưng tính như cách của bác CHAOQUAY thì kết quả có vẻ là : r²*(3 - √3) / 8
S(OAD) = S(GAD) - S(GAO) = (r²*3) / 8 - (r²*√3) / 8 = r²*(3 - √3) / 8


View attachment 250102

Bạn chỉ cần nhớ, tính chất tam giác vuông
Cạnh góc vuông= <Cạnh Huyền>* SIN ( <góc đối>)=<Cạnh Huyền>* COS ( <góc kề>)
Là giải quyết xong phần diện tích tam giác AOD
Còn phần diện tích cung dân (viên phân thì phải) thì có công thức rồi,
Thế là giải quyết được.

 

[Hugo Nguyen]

Mượn hình bài trên
View attachment 250102
Từ diện tích hình tròn tính được bán kính R
GAO là tam giác vuông có OA = R, OG = R/2 => Tính được AG
Góc OAD là góc đáy của tam giác cân có góc đỉnh = 150 => góc OAD = 15
Góc GAD = góc GAO + góc OAD = 30+15 = 45 => Tam giác GAD là tam giác vuông cân => GD = AG
Tính được OD = GD - OG
Có OD và AG tính được diện tích tam giác AOD
Diện tính cần tính = Diện tích hình quạt tròn AOC - Diện tích tam giác AOD - Diện tích cung tròn BC.

Một cách hay, cảm ơn bác!

Bài đã được tự động gộp: 27/11/20

Bạn chỉ cần nhớ, tính chất tam giác vuông
Cạnh góc vuông= <Cạnh Huyền>* SIN ( <góc đối>)=<Cạnh Huyền>* COS ( <góc kề>)
Là giải quyết xong phần diện tích tam giác AOD
Còn phần diện tích cung dân (viên phân thì phải) thì có công thức rồi,
Thế là giải quyết được.

Vâng bác, nhưng vẫn hóng phương pháp giải bằng tích phân xem thế nào bác ạ, cảm ơn bác nhiều!

 

[tigertiger]

Một cách hay, cảm ơn bác!

Bài đã được tự động gộp: 27/11/20

Vâng bác, nhưng vẫn hóng phương pháp giải bằng tích phân xem thế nào bác ạ, cảm ơn bác nhiều!

Tích phân làm gì cho phí thời gian đi, có đáng không mà làm.