Toán bài 6

[batman1]

Tuần này mời các bạn 2 bài dễ để giải trí.

Bài 1.
Tổng các số từ 1 đến 100 (1+2+3+…+100) là 5050. Có thể thay một số dấu cộng thành dấu trừ để nhận được tổng là 2345 hay không? Nếu có thể thì cần thay ít nhất là bao nhiêu dấu cộng bằng dấu trừ?

Bài 2.
Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho tích các chữ số của chúng (n được ghi trong hệ thập phân) bằng n² - 10n - 22

 

[Phuocam]

Bài 1.
Tổng các số từ 1 đến 100 (1+2+3+…+100) là 5050. Có thể thay một số dấu cộng thành dấu trừ để nhận được tổng là 2345 hay không? Nếu có thể thì cần thay ít nhất là bao nhiêu dấu cộng bằng dấu trừ?

Khi thay dấu + bằng - với số n, tổng của nó giảm đi 2*n (là số chẳn).

5050-2345=2705 là số lẻ; bài toán Vô nghiệm.

.

 

[batman1]

Khi thay dấu + bằng - với số n, tổng của nó giảm đi 2*n (là số chẳn).

5050-2345=2705 là số lẻ; bài toán Vô nghiệm.

.

Khi thay đổi dấu + thành - trước số n thì tổng giảm đi một số chẵn (2n) nên tính chẵn lẻ của tổng luôn không đổi. Bắt đầu từ tổng CHẴN (5050) thì muôn đời sẽ là CHẴN, tức không bao giờ bằng 2345

 

[huhumalu]

Khi thay đổi dấu + thành - trước số n thì tổng giảm đi một số chẵn (2n) nên tính chẵn lẻ của tổng luôn không đổi. Bắt đầu từ tổng CHẴN (5050) thì muôn đời sẽ là CHẴN, tức không bao giờ bằng 2345

Là khẳng định hay phản biện vậy anh

 

[huuthang_bd]

Là khẳng định hay phản biện vậy anh

Rõ ràng là xác nhận đáp án đúng mà.

 

[ptm0412]

Là khẳng định hay phản biện vậy anh

"Không bao giờ" = "Vô"

 

[batman1]

Là khẳng định hay phản biện vậy anh

Ý là cũng cùng ý tưởng nhưng trình bầy hơi khác chút, tí tẹo thôi.

 

[huuthang_bd]

Bài 2.
Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho tích các chữ số của chúng (n được ghi trong hệ thập phân) bằng n² - 10n - 22

Gọi x là tích các chữ số của n (x nguyên dương)

Dễ dàng chứng minh x <= n (*1)

Xét trường hợp n >= 20
Đặt n = m + 20 (m >=0)
n² - 10n - 22 = n(n - 10) - 22
<=> (m + 20)((m + 20) - 10) - 22
= (m + 20)(m + 10) - 22
= m² + 30m + 300 - 22
= m² + 30m + 278 > m + 20 với mọi m>=0
=> n² - 10n - 22 > n với mọi n>=20 (*2)

(*1) & (*2) => vô nghiệm khi n>=20 (*3)

n² - 10n - 22 = x
<=> (n - 5)² - 47 = x
<=> (n - 5)² = x + 47
=> (n - 5)² >= 47
=> n - 5 >= 7
=> n >= 12 (*4)

(*3) & (*4) => n chỉ có thể là số có 2 chữ số với chữ số hàng chục là 1
Đặt a là chữ số hàng đơn vị của n, ta có
n² - 10n - 22 = n(n - 10) - 22
<=> (10 + a)((10 + a) - 10) - 22 = a
<=> a² + 9a - 22 = 0
=> a = 2; -11

Kết luận: n = 12

 

[befaint]

Góp vui.

 

[excel_lv1.5]

Bài 2.
Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho tích các chữ số của chúng (n được ghi trong hệ thập phân) bằng n² - 10n - 22

Bác đố mấy bài nặng về toán nhỉ, tôi làm bài 2
Gọi m là là chiều dài của n, p(n) là tích các chữ số của n

Ta có: n² - 10n – 22>0
=> n>11 (1*)

Ta có: n² - 10n – 22<10^m
=> n<sqrt(10^m+47)+5 (2*)
Ta có: n>10^(m-1) (3*)

Từ (2*)&(3*)
=> sqrt(10^m+47)+5 >10^(m-1)
=> sqrt(10^m+47)>10^(m-1)-5
=> 10^m+47>(10^m/10 -5)^2
=>10^2m-200*10^m-2200<0
=>10^m<=210
=> m=1,2 (4*)

Từ (1*) & (2*) & (4*)
=> 11<n<=17 => p(n)<10
=> n² - 10n – 22<10 => n<=12 (5*)
(1*) & (5*)=> n=12

 

[batman1]

Gọi x là tích các chữ số của n (x nguyên dương)

Dễ dàng chứng minh x <= n (*1)

Xét trường hợp n >= 20
Đặt n = m + 20 (m >=0)
n² - 10n - 22 = n(n - 10) - 22
<=> (m + 20)((m + 20) - 10) - 22
= (m + 20)(m + 10) - 22
= m² + 30m + 300 - 22
= m² + 30m + 278 > m + 20 với mọi m>=0

Nếu tôi không lầm thì tôi muốn sửa thành

= m² + 30m + 200 - 22

Tất nhiên cái này không ảnh hưởng gì tới những kết luận tiếp theo. Chỉ là gõ nhầm nên tôi sửa cho hoàn chỉnh.

Bác đố mấy bài nặng về toán nhỉ, tôi làm bài 2

Thì tôi ghi rõ là toán mà. Chỗ này ta chỉ giải toán thôi, không luyện viết công thức Excel, không viết code VBA, không bấm máy tính cầm tay, không dùng các công cụ lập trình. Giải toán là đam mê thôi.

Do vấn đề đã được giải quyết nên tôi cũng đưa ra lời giải của mình.

Ta ký hiệu s(n) là tích các chữ số của n.
n² - 10n – 22 = (n-5)² - 47 không có nghiệm nguyên nên n không có chữ số nào bằng 0.

Với n < 12 biểu thức n² - 10n – 22 có giá trị âm.. Với n = 12 biểu thức n² - 10n – 22 có giá trị bằng 2 = 1*2 = s(12). Vậy n = 12 thỏa mãn điều kiện.

Với 13 ≤ n ≤ 19 có s(n) ≤ 9, trong khi đó (n-5)² - 47 ≥ (13-5)² - 47 = 8² - 47 = 17 > s(n)
Với 21 ≤ n ≤ 99 có s(n) ≤ 9*9 = 81, trong khi đó (n-5)² - 47 ≥ (21-5)² - 47 = 16² - 47 = 209 > s(n)
Ta xét số n có k chữ số, với k ≥ 3.
s(n) ≤ 9*...*9 (k số 9) = 9^k
n ≥ 1...1 (k chữ số 1) → n-5 ≥ 10...00 (k-1 chữ số 0) = 10^(k-1)
(n-5)² - 47 ≥ 10^(2k-2) – 47 = 10^k*10^(k-2) – 47 ≥ 10^k * 10^¹ - 47 = 10^k + (9*10^k-47) > 10^k > 9^k ≥ s(n). Vậy mọi số n có k chữ số, với k ≥ 3, không thỏa mãn điều kiện.

 

[huuthang_bd]

Nếu tôi không lầm thì tôi muốn sửa thành

= m² + 30m + 200 - 22

Tất nhiên cái này không ảnh hưởng gì tới những kết luận tiếp theo. Chỉ là gõ nhầm nên tôi sửa cho hoàn chỉnh.

Đúng là nhầm đó bác.

Gọi m là là chiều dài của n
...
Ta có: n² - 10n – 22<10^m

Sao có cái này được nhỉ?
Với n = 99 => m = 2
99² - 10*99 - 22 = 8789 > 10^2

 

[excel_lv1.5]

Đúng là nhầm đó bác.

Sao có cái này được nhỉ?
Với n = 99 => m = 2
99² - 10*99 - 22 = 8789 > 10^2

Đề bài cho mà bác n² - 10n – 22 là tích các chữ số của n, giả sử n có 2 chữ số => p(n)<=9*9<10^2