Nếu không liệt kê và cũng không diễn giải suy luận, e rằng không chắc có 1 quy luật rằng số 1 + số 24 = số 2 + số 23 = ... = số 12 + số 13, dù rằng thực tế chúng bằng nhau
Nếu muốn lý luận để không hổ danh học sinh giỏi thì thử tí:
Ta xét các số không có chữ số 0. Gọi số các số thỏa điều kiện là K.
Trong các số có 3 chữ số thỏa điều kiện thì có nhiều số có cùng 2 chữ số đầu. Cụ thể thế nào? Nếu ta xét các số có 2 chữ số đầu là ab thì số các số như thế là 2 - chỉ có 4 chữ số chẵn là khác 0 là 2, 4, 6, 8 mà chữ số cuối phải khác a và khác b. Vậy nếu gọi N là số các số có 2 chữ số chẵn khác nhau và thỏa mãn điều kiện là N số đó khác nhau từng đôi một thì K = 2*N
Ta tìm N.
Có 3 số dạng a2 là 42, 62, 82. Tương tự có 3 số dạng a4, 3 số dạng a6 và 3 số dạng a8 (a2, a4, a6, a8 là có gạch trên đầu, ám chỉ số có 2 chữ số. Ở đây ta không gạch được trên đầu nên giải thích thôi chứ viết trên giấy thì khỏi giải thích). Vậy N = 3*4 = 12
=> K = 2*N = 24
Với mỗi số dạng abc thỏa đk tồn tại số xyz = (10-a)(10-b)(10-c) cũng thỏa đk và tổng của chúng = 1110. Rõ ràng 2 số abc và xyz khác nhau vì ngược lại thì abc = xyz = 1110 / 2 = 555 (lẻ), vô lý.
Mặt khác mỗi số abc (tương tự xyz) chỉ xuất hiện trong 1 bộ 2 số có 3 chữ số. Thật thế, giả sử ta có 2 bộ khác nhau (abc, x1y1z1) và (abc, x2y2z2) => x1y1z1 = 1110 - abc = x2y2z2 => 2 bộ là như nhau, mâu thuẫn với giả thiết. Vậy từ 24 số ba chữ số có thể lập được 12 bộ 2 số có 3 chữ số mà tổng của mỗi bộ là 1110 (ta lấy 1 số bất kỳ và số ứng với nó từ 24 sô để có bộ 1, tiếp theo lấy 1 số bất kỳ và số ứng với nó từ 22 số còn lại để có bộ 2, ...)
Vậy tổng cần tìm là 12*1110 = 13320
-------------
Nếu tính cả chữ số 0:
Có N = 12 số có 2 chữ số chẵn khác nhau và khác 0. Vậy có 24 số có 3 chữ số chẵn với 1 chữ số 0 - 12 số có được bằng cách chèn số 0 giữa 2 chữ số của mỗi số có 2 chữ số và 12 số có được bằng cách chèn chữ số 0 vào cuối.
Với mỗi số có dạng a0b có thể tìm được 3 số: ab0, (10-a)0(10-b), (10-a)(10-b)0. Dễ thấy 4 số này khác nhau từng đôi một. Tương tự như trên dễ thấy là không có 2 bộ 4 số nào có chung 1 số có 3 chữ số. Tất nhiên tổng của mỗi bộ là
[a0b + (10-a)0(10-b)] + [ab0 + (10-a)(10-b)0] = 1010 + 1100 = 2110
=> Tổng các số có 3 chữ số mà 1 chữ số là 0 bằng 6*2110 = 12660
=> nếu tính cả số 0 thì tổng là 13320 + 12660 = 25980.
